A 90 perc 18 ötperces blokkra van bontva, és minden blokkban le van írva, mit mutatsz, mit írsz a táblára, mit mondasz szó szerint, mit kérdezel, és mit csinálsz percről percre. A tartalom és a sorrend az eredeti tanársegédi anyagot követi. A magyarázatok végig ugyanarra a pár hasonlatra épülnek (trambulin, tánckar, libikóka, gitár, festékkeverés, visszacsatolás), hogy a hallgatóknak ne kelljen blokkonként új képet tanulniuk.
Idő
Blokk
Fő hasonlat
Mit csinálnak a hallgatók
0–5
Beérkezés, cél, bemelegítő kérdések
tánckar, trambulin
párban válaszolnak 3 kérdésre
5–10
Egy rezgő I.: átváltás, ω₀, f₀
trambulin, dob
átváltanak, kiszámolják az (a) f₀-ját
10–15
Egy rezgő II.: σ, T₆₀, c_krit, ζ
trambulin, utózengés
befejezik az (a) esetet
15–20
(b) és (c) eset
gong és vizes törölköző
önállóan számolják a (b)-t
20–25
Két tömeg: ábra, mátrixok, determináns
két vagon, kötéltérkép
lerajzolják, felírják M-et és K-t
25–30
λ-egyenlet, frekvenciák
intervallum, aranymetszés
párban megoldják a másodfokú egyenletet
30–35
Módusalakok, erősségarány
libikóka, gitár-flageolett
kiszámolják az alakokat és az arányt
35–40
Szünet és gépelőkészítés
–
Kérdés-fal
40–45
Demó, N = 1
trambulin, gong
hallgatnak, összevetik a számolással
45–50
Demó, N = 2
festékkeverés, libikóka
figyelik és hallgatják a két módust
50–55
Demó, N = 3, az ütés helye
gitár: ponticello és tasto, dob
meghallják az ütés helyének hatását
55–60
Kód-labor: három módszer
sötétben lépkedés, óriáskerék
olvassák a kódot
60–65
Python futtatás, a kimenet olvasása
–
futtatnak, leolvasnak
65–70
A pólus sugara: miért száll el az Euler
visszacsatolás
megfogalmazzák az okot
70–75
Meghallgatás és összekötés
óriáskerék
hallgatnak, összefoglalnak
75–80
Mini-teszt I.
–
írnak
80–85
Mini-teszt II., lapcsere, kulcs
–
írnak, javítanak
85–90
Lezárás, házi, átvezetés
tánckar, visszacsatolás
kérdeznek
Jelölések a blokkokban.Mutatom: mi van a kivetítőn. Táblára írom: mi kerül a táblára. Percről percre: a blokk percekre bontva, benne Mondom (szó szerint) és Csinálom. Kérdezem: kérdés, várt válasz, és mit mondj, ha nem tudják. Hasonlat, Gyakori hiba, Ha csúszol.
Ha elcsúszol, a 20., 40., 55. és 75. percnél vissza kell érned a menetrendre. A mellékletben van, mit hagyj el.
Előkészület (az óra előtt 15 perccel)
A legfontosabb: a Demó 1 jelölőnégyzetei csak a lassított rajzot érintik, a hangot nem. A hangot mindig az összes módus együtt adja, ezért az egyes módusokat külön hanganyagként előre el kell készítened (lásd lent).
Eszközök és ellenőrzés
Böngésző hanggal: Demó 1 megnyitva, N = 1, m = 10 g, k = 76 kN/m, c csúszka 16-on (a kijelzőn 0,049 N·s/m). Egyszer nyomj Ütést, mert a böngésző addig nem ad hangot.
Python 3 és NumPy, a Kódok fül közös alapja (oscillator, resonator, bank, write_wav) és a Kód-labor kódja betöltve, egy próbafuttatással.
A „Megoldások” fül kinyomtatva vagy külön ablakban, a hallgatók ne lássák.
A teszt kinyomtatva, hat kérdés (a kérdések a 16. blokkban vannak). Ha nincs nyomtatás, kivetíted.
Opcionális: Max/MSP a gen~ részhez. Nélküle is végigmegy az óra.
A tábla felosztása
Három oszlop a tetején: SZÁMOLÁS | HALLGATÁS | KÓD.
Jobb szélen egy külön sáv: KÉRDÉS-FAL (a szünetben ide írhatnak).
A bal alsó sarokba egy üres táblázat: sorok (a), (b), (c), oszlopok f₀, ζ, T₆₀, c_krit. Ezt töltitek ki az 1. feladatnál.
Felül, nagy betűvel a menetrend: 5–20 egy rezgő · 20–35 két tömeg · 40–55 demó · 55–75 kód · 75–85 teszt · 85–90 lezárás.
A két módus külön hangja (előre, a szünet előtt)
A 10. blokkban ezekkel mutatod meg, hogy a két módus külön is hallható. A bank függvény minden fájlt a saját csúcsára normalizál, ezért a mod1 és a mod2 egyformán hangos lesz. Az igazi hangerőarányt csak az ossz.wav mutatja.
# a Kódok fül közös alapjának betöltése után
w0 = np.sqrt(76e3/0.01)
w = [0.618*w0, 1.618*w0] # a két módus, rad/s
s = [2.45, 2.45] # sigma, 1/s (c = 0,049)
a = [0.7236, 0.2764] # erősség: ütés és hallgatás a 2. tömegnél
write_wav("mod1.wav", bank([w[0]], [s[0]], [a[0]]))
write_wav("mod2.wav", bank([w[1]], [s[1]], [a[1]]))
write_wav("ossz.wav", bank(w, s, a))
Egy megjegyzés a hasonlatokról. Az eredeti anyag a hintát használja. A hinta (inga) lengésideje nem függ a tömegtől, a tömeg–rugó rendszeré viszont igen. Ezért a tömeg–rugó–fék képe itt a trambulin: a gyerek a tömeg, a vászon a rugó, a levegő a fék. A hintát csak ott használom, ahol a lökés ütemén van a hangsúly.
1
Egy rezgő
Beérkezés, cél, bemelegítő
0–5 perc
🎯 Cél a hallgatók megérkeznek, tudják, mi lesz a 90 percben, és kiderül, mire emlékeznek az előadásból.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a kivetítőn a Demó 1, alapbeállításban (N = 3), még nem indítva.
📝Táblára írom (még a belépés előtt)
a három oszlop fejlécét és a menetrendet. A jobb oldalra, nagy betűvel a három bemelegítő kérdés: 1. Mi az a módus? 2. Mit mond meg a σ? 3. Miért tompul a hang lecsengés közben?
⏱️Percről percre
0:00–0:30
Amíg beülnek, háromszor-négyszer megütöd a Demó 1-et kis hangerőn. 🗣 Mondom„Szervusztok, üljetek le nyugodtan. Közben hallgassátok ezt a hangot.” Ne magyarázd, csak szóljon.
0:30–1:15
🗣 Mondom„Jó napot kívánok, [név] vagyok, a mai gyakorlatot én vezetem. Az előadás volt a kotta, a gyakorlat a próba: amit ott hallottatok, azt ma kiszámoljuk, meghallgatjuk és lekódoljuk.”
1:15–1:45
Rámutatsz a menetrendre. 🗣 Mondom„Kilencven percünk van. A végén nyolc perces mini-teszt lesz, tíz pontról. Nem azért, hogy elkapjalak, hanem hogy te is lásd, mi ragadt meg.”
1:45–2:00
Párokba rendezed őket: „Fordulj a szomszédodhoz. Másfél perc, a három kérdésről beszélgessetek.”
2:00–3:30
Körbejársz, hallgatod őket. Fejben jegyzed, ki tud válaszolni és ki nem. Nem javítasz, nem magyarázol.
3:30–5:00
Közösen átveszitek a három választ, kérdésenként kb. 30 másodperc.
💬Kérdezem
❓ „Mi az a módus?”
✓ Várt válasz olyan mozgásforma, amelyben a rendszer minden pontja ugyanazon a frekvencián, rögzített arányban mozog.
↳ Ha nem tudják„Gondolj egy tánckarra: mindenki ugyanabban az ütemben mozog, csak mindenkinek más a mozdulata. Ez egy módus.”
❓ „Mit mond meg a σ?”
✓ Várt válasz milyen gyorsan cseng le a rezgés, σ = c/2m, nagyobb σ rövidebb hang.
↳ Ha nem tudják„Gondolj a trambulinra: ha senki nem lök rajta, a gyerek egyre kisebbet pattan. A σ azt mondja, milyen gyorsan fogy el a lendület.”
❓ „Miért tompul a hang lecsengés közben?”
✓ Várt válasz a magas módusokat a csillapítás jobban fékezi, azok halnak ki előbb.
↳ Ha nem tudják„Gondolj a zongorára: ütés után a csilingelő felső rész gyorsan eltűnik, a mély alap marad. A hang közben kerekebb lesz.”
🎨
Hasonlat: a gyakorlat a próba, az előadás a kotta; a módus egy koreográfia.
⚠️
Gyakori hiba: újra elmeséled az előadást. Ne tedd: csak azt nézd, ki tudja. Aki nem, annak a két tömeges feladatnál (5–7. blokk) segíts többet.
⏱️
Ha csúszol: ez a blokk fix 5 perc. A közös átvételt rövidítsd kérdésenként 20 másodpercre.
2
Egy rezgő
Egy rezgő I.: átváltás, ω₀, f₀
5–10 perc
🎯 Cél a hallgatók értik, mi az a tömeg–rugó–fék, átváltják a mértékegységeket, és kiszámolják az (a) eset alapfrekvenciáját.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a kivetítőn az 1. feladat szövege (csak a feladat, a megoldás nem), az (a), (b), (c) beállítással.
📝Táblára írom
1. feladat: m = 10 g = 0,01 kg · k = 76 kN/m = 76 000 N/m
ω₀ = √(k/m) · f₀ = ω₀ / 2π
⏱️Percről percre
5:00–6:00
🗣 Mondom„Az első feladat a legkisebb hangszer a világon: egy tömeg, egy rugó, egy fék. Képzeljetek el egy gyereket a trambulinon. A gyerek súlya a tömeg, a trambulin vászna a rugó, a levegő ellenállása a fék. Három beállítást adok, (a), (b), (c), mindegyiknél ki kell számolni a frekvenciát, a lecsengést és a csillapítást.”
6:00–7:00
🗣 Mondom„Először mindig átváltunk: a gramm kilogramm lesz, a kN/m newton per méter. Ez a leggyakoribb hiba, ezért ez az első sor. Olyan, mintha a zenekarban az egyik hangszer 440-re, a másik 432-re lenne hangolva: minden elcsúszik. A mértékegység a hangolás.” Felírod: m = 0,01 kg, k = 76 000 N/m.
7:00–8:00
Felírod: ω₀ = √(k/m). 🗣 Mondom„Az ω₀ a rendszer saját üteme: milyen gyorsan pattogna a gyerek a trambulinon, ha nem fékezné semmi. A feszesebb vászon gyorsabb, a nehezebb gyerek lassabb. Ugyanez a dobnál: a dobbőrt feszítve magasabb lesz a hang, a nagydob a nagy tömege miatt mély.”
8:00–9:00
Mindenki a saját számológépén, te a táblán: ω₀ = √(76 000 / 0,01) = √7 600 000 = 2757 rad/s.
9:00–9:45
Felírod: f₀ = ω₀ / 2π = 2757 / 6,283 = 438,8 Hz. 🗣 Mondom„Ez majdnem pontosan az A hang. Egy hajszállal lejjebb van a 440-nél.”
9:45–10:00
Kérdezem a tömegduplázást (lent). A választ a következő blokk elején lezárod.
💬Kérdezem
❓ „Miért kell a 2π?”
✓ Várt válasz az ω radián per másodperc, az f hertz, egy kör 2π radián.
↳ Ha nem tudják„Egy kör 360 fok, vagyis 2π radián. A hertz azt számolja, hány kört tesz meg másodpercenként.”
❓ „Mi lesz az f₀-val, ha megduplázom a tömeget?”
✓ Várt válasz csökken, √2-ed részére, kb. 310 Hz.
↳ Ha nem tudják„Nagy dob, mély hang. A trambulinon a nehezebb gyerek lassabban pattog.”
Gyakori hiba: gramm és kg, kN/m és N/m keverése. Ilyenkor ne javítsd ki, hanem kérdezd: „Állj meg, nézd meg az első sort: kilogramm és newton per méter?” Az ω₀ és az f₀ összekeverése: „Az f hertz, az ω rad/s, a kettő között 2π van.”
⏱️
Ha csúszol: a tömegduplázás kérdést hagyd ki.
3
Egy rezgő
Egy rezgő II.: σ, T₆₀, c_krit, ζ
10–15 perc
🎯 Cél az (a) eset teljes kiszámolása: a lecsengés ideje és a csillapítás mértéke, hasonlatokkal.
🖥️Mutatom (kivetítő)
ugyanaz az 1. feladat a kivetítőn. A táblán megmarad az előző blokk két sora.
📝Táblára írom
σ = c / 2m · T₆₀ = ln 1000 / σ
c_krit = 2√(km) · ζ = c / c_krit
A bal alsó táblázat (a) sora: f₀ | ζ | T₆₀ | c_krit
⏱️Percről percre
10:00–10:30
Ha az előző blokkból megvan a tömegduplázás kérdés, lezárod: „A tömeg duplája mélyebb hang, f₀ osztva √2-vel, kb. 310 Hz.”
10:30–11:30
Felírod: σ = c / 2m = 0,049 / (2 · 0,01) = 2,45 1/s. 🗣 Mondom„A σ azt mondja meg, milyen gyorsan fogy a lendület. Minden másodpercben ugyanannyiad része marad meg: mint a trambulinon pattogó gyerek, aki egyre kisebbeket ugrik.”
11:30–13:00
Felírod: T₆₀ = ln 1000 / σ = 6,908 / 2,45 = 2,82 s. 🗣 Mondom„A T₆₀ az az idő, amíg a hang az induló erejének az ezredrészére esik. Ez a hatvan decibel. Ugyanez a szám a reverb pluginokban az RT60: a koncertterem utózengési ideje. Itt a trambulin utózengése 2,8 másodperc.”
13:00–14:00
Felírod: c_krit = 2√(km) = 2√760 = 55,1 N·s/m, ζ = 0,049 / 55,1 = 8,9 · 10⁻⁴. 🗣 Mondom„A kritikus csillapítás az a fék, ahol a trambulin már nem leng át: ha mézbe merítenéd a vásznat, lenyomod, és lassan visszacsúszik. A ζ azt mondja, hányad része ennek az a fék, amink van. Itt a ζ nagyon kicsi: alig fékezett, sokat leng.”
14:00–15:00
Beírod az (a) sort a táblázatba: 438,8 Hz | 8,9 · 10⁻⁴ | 2,82 s | 55,1. Közben felteszed a kérdéseket (lent).
💬Kérdezem
❓ „Miért 6,9 a T₆₀ számlálója, és nem 3?”
✓ Várt válasz a 60 dB ezerszeres amplitúdóarány, ln 1000 = 6,9.
↳ Ha nem tudják„A hatvan decibel ezerszeres, nem tízszeres.”
❓ „Mit jelent, hogy ζ = 8,9 · 10⁻⁴?”
✓ Várt válasz nagyon gyengén csillapított, sokat leng, mielőtt elhal.
↳ Ha nem tudják„Ha a ζ kicsi, a trambulin sokáig pattog.”
❓ „Ha kétszer akkora a c, mennyi lesz a T₆₀?”
✓ Várt válasz a fele, 1,41 s, mert a σ arányos a c-vel.
↳ Ha nem tudják„Kétszer akkora fék, kétszer gyorsabb lecsengés.”
🎨
Hasonlat: trambulin (σ: a lendület fogyása), utózengési idő (T₆₀), méz (kritikus csillapítás).
⚠️
Gyakori hiba: a T₆₀-nál 3-at írnak 6,9 helyett. A másik: az ln 1000-et a σ helyett a c-vel osztják. Mondom: „A hatvan decibel ezerszeres, ln 1000, és a σ-val osztunk.”
⏱️
Ha csúszol: a harmadik kérdést (kétszeres fék) hagyd ki.
4
Egy rezgő
A (b) és (c) eset
15–20 perc
🎯 Cél a hallgatók önállóan számolnak egy esetet, és megértik, mit jelent a kritikus csillapítás.
🖥️Mutatom (kivetítő)
az 1. feladat szövege, (b) és (c) beállítással. A megoldás nem látszik.
📝Táblára írom
a (b) és (c) bemeneti adatai a táblázat alá: (b) m = 5 g, k = 300 kN/m, c = 7,6 · (c) m = 10 g, k = 76 kN/m, c = 55,1.
⏱️Percről percre
15:00–15:30
🗣 Mondom„Most ti jöttök. A (b) eset: m = 5 gramm, k = 300 kN/m, c = 7,6. Három perc, egyedül. Az első sor a mértékegység-átváltás.”
15:30–18:30
Körbejársz. Minden asztalnál először az első sort nézed: kg és N/m van-e. Közben nem mondod meg az eredményt.
18:30–19:00
Egy hallgató felírja a táblára a (b) eredményeit, a többiek ellenőrzik: f₀ = 1232,8 Hz, ζ = 0,098, T₆₀ = 9,1 ms, c_krit = 77,5. Hangosan megkérdezed: „Mit hallanánk ebből? Magasabb vagy mélyebb hang, hosszabb vagy rövidebb?” Várt válasz: sokkal magasabb és nagyon rövid, egy kopp.
19:00–20:00
A (c) esetet te mondod el szóban, számolás nélkül: „A (c)-ben a fék pontosan a kritikus érték, c = c_krit, vagyis ζ majdnem 1. Itt nincs csengés, puffanás van. Olyan, mintha a gongot egy vizes törölközőre cserélnénk: ütsz, és csak ‘puff’.” Beírod a (c) sort: 438,8 Hz | 0,9993 | 2,5 ms | 55,1.
💬Kérdezem
❓ „A (c) esetben mit fogunk hallani?”
✓ Várt válasz nem csengést, hanem rövid puffanást.
↳ Ha nem tudják„Gondolj a trambulinra mézben: egyszer sem lendül át, lassan visszacsúszik.” A hangot a 9. blokkban hallgatjátok meg.
❓ „Az (a) és a (b) közül melyik a csilingelőbb, és melyik a tompább?”
✓ Várt válasz az (a) hosszan cseng (2,8 s), a (b) magasabb, de szinte azonnal elhal (9 ms).
↳ Ha nem tudják„Az egyik harang, a másik pergő.”
🎨
Hasonlat: gong és vizes törölköző (túlcsillapítás), méz a trambulinon.
⚠️
Gyakori hiba: a hallgatók (c)-nél azt hiszik, nincs hang. Valójában van: egy rövid puffanás. Mondom: „Nincs csengés, de hang van, csak nem szól sokáig.”
⏱️
Ha csúszol: a (b) esetet házi feladatnak adod, és csak az eredményt írod fel a táblára. A (c) szóbeli rész marad.
5
Két tömeg
Két tömeg: ábra, mátrixok, determináns
20–25 perc
🎯 Cél a hallgatók lerajzolják a két tömeges rendszert, értik, mit mutat az M és a K mátrix, és tudják, miért keresünk olyan ω-t, ahol a determináns nulla.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a táblán kézzel rajzolt ábra: fal – rugó – m₁ – rugó – m₂ (a jobb vég szabad). Kivetítő: nem kell.
📝Táblára írom
M = m · I (az egységmátrix)
K = k · [ 2 −1 ; −1 1 ]
det(K − ω²M) = 0
⏱️Percről percre
20:00–21:00
Rajzolod az ábrát, a hallgatók lemásolják. 🗣 Mondom„Most két tömeg. Képzeljetek el két vagont. Az első rugóval a falhoz van kötve, a második rugóval az elsőhöz, és a jobb vége szabad, mint egy vonat vége.”
21:00–21:45
Kérdezem: „Milyen egyszerű mozgásokat tudtok elképzelni ezzel a két vagonnal?” Várt válasz: az egyik, hogy együtt mennek ugyanarra, a másik, hogy ellentétesen. Felírod a táblára: 1. együtt · 2. ellentétesen. 🗣 Mondom„Ezt a két mozgást keressük, ezek lesznek a módusok.”
21:45–23:15
Felírod az M-et és a K-t. 🗣 Mondom„A mátrixok táblázatok, amelyek azt mondják meg, ki kihez van kötve. Az M a tömegek táblázata: mindkét vagon ugyanolyan nehéz, ezért csak az átlóban van m. A K a kötelek térképe. Az első vagont két rugó fogja, a faltól és a szomszédtól: ezért az első helyen 2 áll. A másodikat csak egy rugó fogja: ezért 1. A mínusz egy azt jelenti, hogy a szomszéd visszahúz.”
23:15–24:30
🗣 Mondom„Mikor leng a rendszer tiszta ütemben? Amikor a K mínusz ω² szorozva M mátrix determinánsa nulla. A determináns most egy ellenőrző: akkor lesz nulla, ha a rendszer hajlandó tisztán lengeni. Ez olyan, mint a gitárhúr: nem akármilyen frekvencián cseng, hanem csak a saját hangjain. Ezeket a hangokat keressük, ez a hangolás feltétele.”
24:30–25:00
Kérdezem (lent), majd átvezetsz: „A következő blokkban ki is számoljuk.”
💬Kérdezem
❓ „Hány módusa van a rendszernek?”
✓ Várt válasz kettő, annyi, ahány tömeg.
↳ Ha nem tudják„Minden vagonhoz egy koreográfia.”
❓ „Miért áll az 1 a K jobb alsó sarkában?”
✓ Várt válasz mert a második tömeget csak egy rugó fogja.
↳ Ha nem tudják„Számold meg, hány rugó fogja a másodikat.”
🎨
Hasonlat: két vagon (a rendszer), kötéltérkép (a K mátrix), gitárhúr (a saját hangjai, ezek a módusok).
⚠️
Gyakori hiba: a K mátrix előjeleinek felírása. Mondom: „Az átlóban mindig pozitív van, a mellette lévő elem negatív, mert a szomszéd húz vissza.”
⏱️
Ha csúszol: a 21:00–21:45 kérdést (egyszerű mozgások) ne hagyd ki, ez a módus fogalmának alapja. Inkább a mátrixok magyarázatát rövidítsd fél percre.
6
Két tömeg
A λ-egyenlet és a két frekvencia
25–30 perc
🎯 Cél a hallgatók párban megoldják a másodfokú egyenletet, és megkapják a két módus frekvenciáját.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a tábla az előző blokk mátrixaival. Kivetítő: nem kell.
Felírod a determinánst, és együtt levezetitek: a K − ω²M mátrix átlója (2 − λ) és (1 − λ), a mellékátló −1 és −1, a determináns az átlók szorzata mínusz a mellékátlók szorzata: (2 − λ)(1 − λ) − 1. 🗣 Mondom„A λ az arány az alapfrekvenciához képest, mértékegység nélkül. Olyan, mint egy zenei intervallum: nem a hertz számít, hanem az arány a két hang között.”
26:30–28:30
🗣 Mondom„Rendezzük: λ² − 3λ + 1 = 0. Párban oldjátok meg a megoldóképlettel, két perc.” Közben körbejársz. Aki elakad: „Az a = 1, b = −3, c = 1.”
28:30–29:15
Együtt felírjátok: λ = (3 ∓ √5) / 2 = 0,382 és 2,618. 🗣 Mondom„Most a gyök: ω = ω₀ · √λ. Ez 0,618 és 1,618 szorosa az alap-ütemnek.” Szünetet tartasz. 🗣 Mondom„Ismerősek ezek a számok? Ez az aranymetszés.”
↳ Ha nem tudják„Osszuk el: 710 per 271, az 2,62.” Sokan 1,618-at mondanak, mert az aranymetszés ott van a szemük előtt.
❓ „Egy oktáv ennél több vagy kevesebb?”
✓ Várt válasz több. Mondom: „Ez egy oktáv és egy kissé szűk kvart. A húr felhangjai 1 : 2 : 3, itt ez 1 : 2,6. Ezért szól fémesebben, harang-szerűen, nem hangszer-szerűen.”
🎨
Hasonlat: intervallum (a λ arány, nem hertz), aranymetszés (a két gyök), harang (nem egész számú arányok).
⚠️
Gyakori hiba: az f₂/f₁ arányra 1,618-at mondanak. Ellenőrzés: 710 / 271 = 2,62. A másik: elfelejtik a gyökvonást, és az ω₀-szorosnak a λ-t veszik, nem a √λ-t.
⏱️
Ha csúszol: a 29:15–30:00 szakaszban az oktáv és kvart megjegyzést hagyd ki, csak a két frekvenciát írd fel.
7
Két tömeg
Módusalakok és az erősségarány
30–35 perc
🎯 Cél a hallgatók kiszámolják, ki mennyit mozdul az egyes módusokban, és megértik, hogy az ütés helye dönti el, melyik módus mennyire szól.
🗣 Mondom„A módusalak azt mondja meg, ki mennyit mozdul a közös ütemben. Az első egyenletből u₂ = (2 − λ) · u₁. Legyen u₁ = 1.” Behelyettesíted: λ = 0,382 esetén 2 − 0,382 = 1,618, λ = 2,618 esetén 2 − 2,618 = −0,618.
31:15–32:30
🗣 Mondom„Az első módusban a két vagon együtt megy, a második 1,6-szor nagyobbat mozdul, mint az első: olyan, mint egy hullámzó vonat farka. A másodikban a két szám előjele eltérő: ez libikóka. Az egyik felmegy, a másik lemegy, és kettejük között van egy nyugvópont.” Kérdezem (lent), mit jelent a negatív szám.
32:30–33:45
🗣 Mondom„A módus-tömeg azt mondja meg, mekkora tömeget mozgat meg a módus. Ezt most kész adatként adom: m₁ = 3,618 m, m₂ = 1,382 m. Ez az alak négyzetösszege szorozva m-mel: 1 + 2,618, és 1 + 0,382.” Felírod az a_n képletet. 🗣 Mondom„A hangerő az ütés és a hallgatás helyétől függ. Ha mindkettő a második tömegnél van, a szorzat négyzet lesz.”
33:45–34:30
Kiszámolod a táblán: a₁ ∝ 2,618 / (3,618 · 0,618) = 1,17, a₂ ∝ 0,382 / (1,382 · 1,618) = 0,171, az arány 0,146. 🗣 Mondom„A második módus kb. hétszer halkabb az elsőnél, ez kb. −17 decibel.”
34:30–35:00
Hasonlat és áttérés. 🗣 Mondom„Gitáron ezt a flageoletnél hallod: ha a húr felénél, a csomópontnál érinted, az alaphang eltűnik, az oktáv szól. Az ütés helye dönti el, melyik módus kap energiát. A demóban ezt is meghalljuk.”
💬Kérdezem
❓ „Mit jelent, hogy a 2. módusban az egyik érték negatív?”
✓ Várt válasz a két tömeg ellentétes fázisban leng, köztük van egy nyugvópont.
↳ Ha nem tudják„Az egyik jobbra, a másik balra megy egyszerre. Mint a libikóka két vége.”
❓ „Melyik módus szól hangosabban a 2. tömegnél ütve?”
✓ Várt válasz az 1., az arány 0,146, vagyis a 2. módus kb. 17 dB-lel halkabb.
↳ Ha nem tudják„A 2. tömeg az 1. módusban nagyot mozdul (1,618), a 2.-ban keveset (−0,618), és a frekvencia is kisebb az első módusnál.”
🎨
Hasonlat: libikóka (2. módus), hullámzó vonat (1. módus), gitár-flageolett (az ütés helye és a csomópont).
⚠️
Gyakori hiba: az a_n-nél elfelejtik négyzetre emelni az u_n(2)-t. Mondom: „Az ütés és a hallgatás helye is számít, ezért szorzat. Ha ugyanott van, négyzet.”
⏱️
Ha csúszol: a módus-tömegeket és az amplitúdóarányt házinak adod. Csak az eredményt mondod ki: 0,146, kb. −17 dB. A megoldás a „Megoldások” fülön van.
8
Szünet
Szünet és gépelőkészítés
35–40 perc
🎯 Cél a hallgatók pihennek, te pedig mindent beállítasz a demóhoz és a kódhoz, hogy 40:00-kor azonnal indulni tudjatok.
🖥️Mutatom (kivetítő)
semmit. A kivetítő maradhat a táblán, vagy átkapcsolsz a Demó 1-re.
📝Táblára írom
a jobb szélére a KÉRDÉS-FAL fejlécet, ha nincs kint. A többit nem törlöd le.
⏱️Percről percre
35:00–35:30
🗣 Mondom„Öt perc szünet. Negyvenkor pontosan folytatjuk. Ha valami megmaradt a fejetekben, írjátok fel a Kérdés-falra, a végén visszatérünk rá.”
35:30–37:00
Megnyitod a Demó 1-et. Hangerő és némítás ellenőrzése, egyszer megnyomod az Ütést (a böngésző addig nem ad hangot). Beállítod: N = 1, m = 10 g, k = 76 kN/m, c csúszka 16 (a kijelzőn 0,049 N·s/m). A c = 55,1 értékhez a csúszkát kb. 87-re kell húzni, ezt a 9. blokkban fogod megtenni.
37:00–38:30
Megnyitod a Pythont. Betöltöd a Kódok fül közös alapját (oscillator, resonator, bank, write_wav), és a Kód-labor kódját. Egy próbafuttatás a végén: nincs hibaüzenet?
38:30–39:30
Ha az előkészületnél még nem futtattad, most legenerálod a három hangfájlt (mod1.wav, mod2.wav, ossz.wav, a kód az Előkészületben van). Egyszer lejátszod az ossz.wav-ot hangerő-ellenőrzésnek.
39:30–40:00
A tábla: ott van az (a), (b), (c) sor, az M és K mátrix, a λ-megoldás? Ha igen, kész vagy. 🗣 Mondom„Visszaültök? Mindjárt hallgatunk.”
Kérdezem: most senkit.
🎨
Hasonlat: nincs. Ha a Kérdés-falra kerül valami, azt a lezáráskor (18. blokk) vedd elő.
⚠️
Gyakori hiba: a böngésző nem ad hangot az első Ütés előtt. Ezért nyomod meg még a szünetben.
⏱️
Ha csúszol: ez a blokk az idő puffere. Ha az előző blokkok csúsztak, a szünetet rövidítsd 3 percre, és a gépelőkészítést a szünet alatt a hallgatókkal egyszerre csináld.
9
Demó
Demó, N = 1: a számolt rezgő meghallgatása
40–45 perc
🎯 Cél a hallgatók meghallják, amit kiszámoltak: a 439 Hz-es csengést, és a kritikus csillapításnál a puffanást.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a kivetítőn a Demó 1, hanggal. Beállítás: N = 1, m = 10 g, k = 76 kN/m, c csúszka 16 (0,049 N·s/m).
📝Táblára írom
a HALLGATÁS oszlopba: „N = 1: 439 Hz, 2,8 s” és „c = c_krit: puffanás”.
⏱️Percről percre
40:00–40:45
🗣 Mondom„Eddig számoltunk, most meghallgatjuk ugyanazokat. Mindig ugyanaz a rend: először megmondom, mit várok, aztán ütök, aztán összevetjük.”
40:45–42:30
🗣 Mondom„Azt várom: 439 hertz, és kb. 2,8 másodperc.” Ütés. Megmutatod a kijelzőn az „f = …” sort, utána a hullámformát („Hang az idő függvényében”). 🗣 Mondom„A görbe ott tűnik el, ahol a hang az ezredrészére esett: ez a T₆₀. Az animáció lassított felvétel, kb. nyolcszázszor lassabb, hogy lásd a lengést.” Egy hallgatót megkérsz, hogy ő nyomja meg az Ütést még egyszer.
42:30–44:00
🗣 Mondom„Most a fékezés: c = 55,1.” A c csúszkát kb. 87-re húzod, amíg a kijelzőn 55 körüli érték áll. Ütés. Puffanás hallatszik. 🗣 Mondom„Ez a gong, amit vizes törölközőre cseréltünk. Nincs csengés, csak puff.” Megmutatod a hullámformát: azonnal lecseng.
44:00–45:00
Visszaállítod a csúszkát 16-ra, megkérdezed a lenti kérdéseket, és jelzed a következőt: „Most két tömeg jön.”
💬Kérdezem
❓ „Egyezik-e a számolásunkkal a kijelzett frekvencia?”
✓ Várt válasz igen, legfeljebb 1–2 Hz eltéréssel.
↳ Ha nem tudják„Nézzétek meg a mértékegységet: gramm és kN/m a demóban.”
❓ „Mi változott a hullámformán, amikor a fékezést megemeltem?”
✓ Várt válasz nincs lengés, a görbe azonnal lecseng.
↳ Ha nem tudják„Nézzétek a görbe elejét: lengett-e egyáltalán?”
🎨
Hasonlat: trambulin (a hosszú csengés), gong és vizes törölköző (a puffanás).
⚠️
Gyakori hiba: a demó nem szól. Mondom: „Ellenőrizzétek a hangerőt és a némítást, és nyomjatok rá az Ütés gombra.” Ha a csúszka nem áll jól 55-ön, a kijelző mutatja az aktuális értéket: ahhoz igazítsd.
⏱️
Ha csúszol: a 42:30–44:00 szakaszt rövidítsd egy percre, és a hallgatói Ütést hagyd el. A puffanást ki ne hagyd, ez az 1. feladat (c) része.
10
Demó
Demó, N = 2: a két módus külön és együtt
45–50 perc
🎯 Cél a hallgatók látják és hallják, hogy a két tömeges rendszer hangja két módus keveréke, és hogy a 2. módus halkabb.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a Demó 1, N = 2, a végek: „fal – szabad”, az ütés és a hallgatás helye is a 2. tömeg (az „Ütés helye” és a „Hallgatás helye” csúszka 2-n). Kéznél az előre elkészített mod1.wav, mod2.wav, ossz.wav.
⚠️ Fontos: a jelölőnégyzetek („Módusok: 1., 2.”) csak a lassított rajzot változtatják, a hangot nem. Az egyes módusok hangját a három hangfájllal mutatod meg.
📝Táblára írom
a HALLGATÁS oszlopba: „N = 2: 271 és 710 Hz” és „hang = módusok keveréke”.
⏱️Percről percre
45:00–45:45
Beállítod N = 2-t. A kijelzőn az „f = 271, 710 Hz” sor látszik, mellette az arány 1,00 : 2,62. 🗣 Mondom„Egyezik azzal, amit kiszámoltunk a táblán.”
45:45–47:00
Ütés. 🗣 Mondom„Mit hallotok? Egy hangot vagy kettőt?” Hagyj időt, hogy a hallgatók kimondják. Megkéred őket, hogy a mély hang fölött figyeljék a halvány csilingelést.
47:00–48:30
A rajzban kikapcsolod a 2. módust, csak az 1. marad. 🗣 Mondom„A rajz lassított felvétel. Csak az első módus: a két tömeg együtt megy, mint a hullámzó vonat.” Aztán csak a 2. módus: „Ellentétesen: libikóka, a nyugvópont a két tömeg között.” Végül mindkettő be: „Az igazi mozgás a kettő összege.”
48:30–49:30
Lejátszod a mod1.wav-ot, a mod2.wav-ot, majd az ossz.wav-ot. 🗣 Mondom„Az első a mély, kerek hang, a második a magas csilingelés. Az összeg az, amit a demó is játszik: a mély uralkodik, a magas halvány. A mod1 és mod2 fájlt külön normalizáltam, ezért egyformán hangosak, az ossz.wav az igazi arány.”
49:30–50:00
🗣 Mondom„A hangszín úgy áll össze, mint a festékkeverés. Minden módus egy tubus. A hang a tubusokból kinyomott mennyiségek aránya. Hogy melyikből mennyi jön ki, az az ütés helyén múlik. Ez jön a következő blokkban.”
💬Kérdezem
❓ „Mi történik, ha csak a 2. módus szól?”
✓ Várt válasz magasabb, csilingelő hang, 710 Hz.
↳ Ha nem tudják„A 2. módus frekvenciája 710 Hz, ez a magasabb hang.”
❓ „Mi a különbség az 1. és a 2. módus rajzán?”
✓ Várt válasz az 1.-nél a két tömeg együtt, a 2.-nál ellentétesen mozog.
↳ Ha nem tudják„Nézzétek, hogy a két pont ugyanarra vagy ellentétes irányba megy.”
Gyakori hiba: a hallgatók azt várják, hogy a jelölőnégyzet a hangot is kikapcsolja. Mondom: „A pipa csak a rajzot érinti. A hangot a három fájl mutatja meg.”
⏱️
Ha csúszol: a 48:30–49:30 hangfájl-szakaszt rövidítsd egy percre: csak a mod2.wav és az ossz.wav.
11
Demó
Demó, N = 3: az ütés helye és a hangszín
50–55 perc
🎯 Cél a hallgatók meghallják, hogy ugyanaz a tárgy másképp szól, ha máshol ütik meg, és értik, hogy ez a módusok keverési arányának változása.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a Demó 1, N = 3, a végek: „fal – szabad”. Az „Ütés helye” és a „Hallgatás helye” csúszka mindig ugyanazon az értéken legyen, így tiszta a történet.
📝Táblára írom
a HALLGATÁS oszlopba: „N = 3: 195, 547, 791 Hz (nem 1 : 2 : 3)” és „ütés helye = a módusok keverési aránya”.
⏱️Percről percre
50:00–50:45
Beállítod N = 3-at, mindkét csúszka 3-on. A kijelzőn az „f = 195, 547, 791 Hz” sor, az arány 1,00 : 2,80 : 4,05. 🗣 Mondom„Három módus, a frekvenciák aránya nem 1 : 2 : 3, mint egy húr felhangjainál. Ezért szól fémesebben.”
50:45–51:45
Ütés a 3. tömegnél, a szabad végen. 🗣 Mondom„A szabad végen ütve a mély alaphang uralkodik: sötét, kerek hang.” Megmutatod a hullámformát és a rajzot, ahol a rózsaszín pont a 3. tömeg.
51:45–53:15
Mindkét csúszkát 1-re húzod, Ütés. 🗣 Mondom„A falnál ütve az alaphang gyengébb, a magasabb módusok erősebbek: csilingelősebb, élesebb hang.” Ha van idő, még egyszer ütsz mindkét állásban, hogy a hallgatók összevethessék.
53:15–54:15
🗣 Mondom„Gondoljatok a gitárra: ugyanaz a húr, de a híd mellett pengetve (ponticello) vékony, éles hangot kapsz, a fogólap fölött (tasto) kereket. A dobnál ugyanez: a szélére ütve csengőbb, a közepére mélyebb. Az ütés helye azt választja ki, melyik tubusból mennyi festék jön ki.”
54:15–55:00
A hallgatók elmondják, mit hallottak, 2–3 hozzászólás. Összefoglalsz: „Az ütés helye a hangszín gombja.”
💬Kérdezem
❓ „Miért szól más hangszínen az ütés a falnál és a szabad végen?”
✓ Várt válasz az ütés helye határozza meg, melyik módus kap több energiát.
↳ Ha nem tudják„Gondolj a flageoletre: a csomópontnál az alaphang eltűnik.”
❓ „Hol a leggyengébb az alaphang a többi módushoz képest?”
✓ Várt válasz a falnál ütve (az 1. tömegnél).
↳ Ha nem tudják„A falnál az 1. módus mozgása a legkisebb, ezért itt a legkevésbé szól.”
🎨
Hasonlat: gitár (ponticello és tasto), dob (szél és közép), festékkeverés (a tubusok aránya).
⚠️
Gyakori hiba: a hallgatók csak a hangerőt veszik észre, a hangszínt nem. Mondom: „Ne azt figyeljétek, melyik hangosabb, hanem hogy melyik élesebb, és melyik kerekebb.”
⏱️
Ha csúszol: az 51:45–53:15 szakaszt rövidítsd két percre, a közös megbeszélést (54:15–55:00) hagyd ki.
12
Kód
Kód-labor: három módszer, egy rezgő
55–60 perc
🎯 Cél a hallgatók értik, hogy a gép lépésenként számolja a hangot, és hogy háromféleképpen lehet: két közelítéssel és egy pontos megoldással.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a Kódok fül „Kód-labor: Euler és a pontos megoldás” része, Python. A tábla szabad felén a három együttható-pár.
📝Táblára írom (a KÓD oszlopba)
minden minta: y[n] = a₁ · y[n−1] + a₂ · y[n−2] · T = 1/44100 s
pontos: a₁ = 2r cos θ · a₂ = −r² · r = e^(−σT), θ = ω_d T
⏱️Percről percre
55:00–55:45
🗣 Mondom„Eddig a gép számolta ki a hangot, de hogyan? Három módszert nézünk, mindhárom ugyanazt a rezgőt számolja, mintánként, vagyis 44100-szor másodpercenként. Az első két módszer az Euler két változata, a harmadik a pontos megoldás.”
55:45–57:00
🗣 Mondom„Az Euler olyan, mint amikor sötétben sétálsz egy kanyargós úton. Minden lépés előtt csak azt nézed, merre mutat most az orrod, és egyenesen lépsz egyet. Kis lépésnél eltalálod az utat, de a kanyarban kicsit kicsúszol, és a hiba halmozódik.”
57:00–58:15
🗣 Mondom„A pontos megoldás nem lépegetés: ez a térkép, amelyen előre kiszámoltuk, hova jut a rezgő egy lépés alatt. Három szám építi fel. A cos az óriáskerék forgási sebessége, ez a hangmagasság. Az r megmondja, mennyi marad meg lépésenként a lendületből, ez a lecsengés. A sin az első lökés, vagyis az ütés.”
58:15–59:30
Megmutatod a kódot, és felolvasod az euler függvényt: „Az acc sor a gyorsulás: a rugó visszahúz, a fék lassít. Egyetlen sor a különbség a két Euler között: az x az új sebességet használja, vagy a régit.” Megmutatod a két sort egymás mellett.
❓ „Ki gondolja, hogy mindhárom módszer ugyanazt a hangot adja?” Nincs jó vagy rossz válasz, a tipp a kíváncsiságot hozza. Mondom: „Nézzük meg, kinek lett igaza.”
❓ „Szerintetek melyik fog elszállni?”
✓ Várt válasz nem tudják. Ha tippelnek, jó. Mondom: „A 63. perc táján kiderül.”
🎨
Hasonlat: sötétben lépkedés (Euler), térkép (a pontos megoldás), óriáskerék (cos), lendület-megmaradás (r), első lökés (sin).
⚠️
Gyakori hiba: az a₁ és az a₂ összekeverése az y[n−1] és y[n−2]-vel. Mondom: „A mostani hang az előző két hang keveréke. Az a₁ az előző mintáé, az a₂ az azelőttié a súly.”
⏱️
Ha csúszol: a 58:15–59:30 kódolvasást rövidítsd a két Euler-sor mutatására, a kézfelnyújtást hagyd ki.
13
Kód
Python futtatás és a kimenet olvasása
60–65 perc
🎯 Cél a hallgatók lefuttatják a három módszert, és a számokból látják, melyik száll el.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a Kód-labor Python-kódja a kivetítőn, futtatás után a kimenet.
📝Táblára írom (a KÓD oszlopba), a kimenet beolvasása után
explicit Euler: 0,05 s alatt max ≈ 2,3 · 0,5 s alatt max ≈ 5 · 10¹⁶
szemi-implicit és pontos: max ≈ 0,036
⏱️Percről percre
60:00–60:30
🗣 Mondom„Futtassátok a kódot. Háromszor 22 050 lépés van, ez néhány másodperc. Közben ne zárjátok be az ablakot.” Ha valakinek nincs Pythonja, párba ültetsz hozzá valakit.
60:30–62:30
Körbejársz. Aki hibaüzenetet kap, annak rendszerint az import numpy hiányzik, vagy nem a teljes kódot másolta ki. Mondom a tanteremnek: „Ha lefutott, a kimeneten három sort kell látnotok.”
62:30–64:00
Közösen felolvassátok a három sort. A tábla szerinti számokat ellenőrzitek. 🗣 Mondom„Az explicit Euler kitérése fél másodperc alatt 5 · 10¹⁶. Ez méterben kb. öt fényév: a mi kis tömegünk fél másodperc alatt a legközelebbi csillagnál is messzebb repülne.”🗣 Mondom„A másik kettő csúcsa 0,036, ez a normális érték.”
64:00–65:00
Kérdezem (lent), a választ a következő blokk elején mélyítitek.
💬Kérdezem
❓ „Melyik módszer száll el, és honnan látszik?”
✓ Várt válasz az explicit Euler, a kitérés 0,5 s alatt ≈ 5 · 10¹⁶, a másik kettőé 0,036.
↳ Ha nem tudják„Nézzétek meg, melyik szám nő a kimeneten.”
❓ „Mi a különbség a szemi-implicit és az explicit Euler között a kódban?”
✓ Várt válasz a szemi-implicitnél az x az új sebességet használja (x_new = x + T · v_new).
↳ Ha nem tudják„Egyetlen sor a különbség: melyik v kerül az x képletébe.”
🎨
Hasonlat: lépkedés sötétben (az explicit Euler, amely minden lépésnél kicsit többet ad hozzá, mint kellene).
⚠️
Gyakori hiba: lassú a Python-futás. Mondom: „Ez normális, néhány másodperc.” Ha valaki a gen~-t kérdezi: „A gen~ opcionális, a Python elég a megértéshez.”
⏱️
Ha csúszol: a 60:30–62:30 szakaszban a hallgatók helyett te futtatod le a kivetítőn mindenkinek, és a 64:00–65:00 kérdést a következő blokkba vonod át.
14
Kód
A pólus sugara: miért száll el az explicit Euler
65–70 perc
🎯 Cél a hallgatók megértik, hogy a három módszer közötti különbség egyetlen számban, a „sugárban” látszik, és ez dönti el, hogy a hang elhal vagy elszáll.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a tábla az előző blokk számaival és a három együttható-párral.
📝Táblára írom
sugár: r = √(−a₂)
explicit Euler: 1,0019 (1-nél nagyobb: nő)
szemi-implicit: 0,99994 (1-nél kisebb: elhal)
pontos: 0,99994 (r = e^(−σT), mindig 1-nél kisebb)
⏱️Percről percre
65:00–66:00
🗣 Mondom„Mi a közös a három módszerben? Mindegyik két mintás szabály: a mostani hang az előző két hang keveréke. A szabály sorsát egyetlen szám dönti el, a sugara: r = gyök alatt mínusz a₂.” Felírod a három sugarat.
66:00–67:30
🗣 Mondom„Gondoljatok a mikrofonra és a hangfalra. Ha a mikrofon a hangfal hangját visszaveszi, és a visszacsatolás erősítése egynél kisebb, a hang elhal. Ha egynél nagyobb, üvölt. A sugár ez az erősítés: minden mintánál ennyiszeresére változik a hang. A 0,99994 azt jelenti, hogy másodpercenként a nyolc és fél százalékára esik. Az 1,0019 azt, hogy minden mintánál 0,19 százalékkal nő: ezt halmozva lesz belőle az öt fényév.”
67:30–68:30
Kérdezem az első két kérdést (lent). Meghallgatod a válaszokat.
68:30–69:30
Kérdezem a harmadik kérdést, a magas frekvenciás esetet. 🗣 Mondom„Minél magasabb a módus, annál nagyobb az Euler frekvenciahibája. Ezért nem Eulerrel építünk hangszert.”
69:30–70:00
🗣 Mondom„A pontos megoldásnál a sugár e a mínusz σT-n. Amíg a σ pozitív, ez mindig egynél kisebb: a pontos rezgő soha nem szállhat el. Ezért építünk rá.”
💬Kérdezem
❓ „Mit jelent, hogy a sugár 1,0019?”
✓ Várt válasz minden mintánál 0,19 százalékkal nő a hang, mint a visszacsatolás.
↳ Ha nem tudják„Az egynél nagyobb erősítés mindig üvölt.”
❓ „Miért marad a pontos megoldás sugara mindig egynél kisebb?”
✓ Várt válasz mert r = e^(−σT), és a negatív kitevő mindig egynél kisebb számot ad.
↳ Ha nem tudják„Az e mínusz valami mindig 1 alatt marad, ha az a valami pozitív.”
❓ „Mi történne a szemi-implicit hangjával, ha k = 500 kN/m és m = 1 g?”
✓ Várt válasz a frekvenciája kb. 1,1 százalékkal, kb. 39 Hz-cel éles lenne, a pontosé nem változik.
↳ Ha nem tudják„A magasabb frekvencián nagyobb a lépések közti ugrás, ezért nagyobb a hiba.”
🎨
Hasonlat: hangfal–mikrofon visszacsatolás (a sugár az erősítés: 1 alatt elhal, 1 fölött üvölt).
⚠️
Gyakori hiba: a hallgatók a 0,19 százalékot elhanyagolhatónak tartják. Mondom: „Ez minden mintánál megtörténik, másodpercenként 44100-szor. A kis szám halmozva óriási.”
⏱️
Ha csúszol: a harmadik kérdést (500 kN/m, 1 g) hagyd ki.
15
Kód
Meghallgatás és összekötés
70–75 perc
🎯 Cél a hallgatók meghallják a három módszer különbségét, és a cos, r, sin hármas összekapcsolja az eddigieket a modális szintézissel.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a három lejátszható hangfájl (explicit, szemi, pontos). A Max/MSP gen~ rész csak akkor, ha van gép hozzá. A tábla a KÓD oszlopban az együtthatókkal.
📝Táblára írom (a KÓD oszlopba, az összefoglaláshoz)
cos θ → a hangmagasság (óriáskerék sebessége)
r → a lecsengés (mennyi marad lépésenként)
sin → az ütés, az első minta
egy módus = egy ilyen rezgő · egy tárgy hangja = a módusok összege
⏱️Percről percre
70:00–72:00
Opcionális hanghallgatás. Ha van idő és működik a hang, a Kód-labor futtatása után kiírod a három fájlt, és lejátszod őket egymás után.
72:00–73:30
Összekötés. 🗣 Mondom„A modális szintézis ezekből a rezgőkből áll. Minden módus egy ilyen két mintás rezgő: a cos adja a hangmagasságot, az r a lecsengést, a sin az ütés erejét. Egy gong hangja ezek összege. Ezt építjük fel a következő órákon.”
73:30–75:00
Kérdezem (lent), röviden, két hallgatóval.
# a Kód-labor és a közös alap betöltése után
ye, ys, yp = euler(True), euler(False), exact()
for nev, y in (("explicit", ye), ("szemi", ys), ("pontos", yp)):
write_wav(nev + ".wav", y / np.abs(y).max())
Az explicit fájlban a hang a normalizálás miatt csak a vége felé hallatszik: egyre erősödő, 439 Hz körüli hang. A szemi és a pontos fájl szinte azonos hangot ad.
💬Kérdezem
❓ „Melyik szám állítja a hangmagasságot az a₁ = 2r cos θ képletben?”
✓ Várt válasz a θ, a cos révén.
↳ Ha nem tudják„Az óriáskerék forgási sebessége: gyorsabb kerék, magasabb hang.”
❓ „Mekkora az r, ha a hang sosem halna el?”
✓ Várt válasz 1.
↳ Ha nem tudják„Akkor minden mintánál ugyanannyi marad meg, nem fogy semmi.”
🎨
Hasonlat: óriáskerék (cos), lecsengés-gomb (r), első lökés (sin).
⚠️
Gyakori hiba: az explicit fájl az elején szinte néma, és a hallgatók hibásnak hiszik. Mondom: „Nem hibás a fájl: a hang az elején elképzelhetetlenül halk, és csak a végére nő meg.”
⏱️
Ha csúszol: a hanghallgatást (70:00–72:00) és a gen~ részt hagyd ki, az összekötést bővítsd 5 percre: ez a blokk lényege.
16
Teszt
Mini-teszt, első fele
75–80 perc
🎯 Cél a hallgatók egyedül írják a hat kérdéses tesztet, a te dolgod csak a csend és az idő.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a kivetítőn a teszt hat kérdése és egy visszaszámláló óra (7 perc, 82:45-ig). A nyomtatott lapokat a szünetben (8. blokk) már lefordítva letetted az asztalokra.
📝Táblára írom
semmit. A táblán maradnak a számolások, de a hallgatók nem segíthetnek egymásnak.
A teszt (6 kérdés, 10 pont, 7 perc írás)
(1 pont) Mekkora f₀ m = 10 g, k = 76 kN/m esetén?
(2 pont) m = 5 g, k = 300 kN/m, c = 7,6 N·s/m: mekkora ζ és T₆₀?
(1 pont) Mekkora a kritikus csillapítás m = 10 g, k = 76 kN/m esetén?
(2 pont) Két tömegű fal–szabad láncban mekkora f₂/f₁?
(2 pont) Miért száll el az explicit Euler?
(2 pont) Mi a cos szerepe az a₁ = 2r cos θ együtthatóban?
⏱️Percről percre
75:00–75:45
Kivetíted a kérdéseket, a lapok már lefordítva az asztalokon vannak. 🗣 Mondom„Most egyedül írtok. Hét perc, segédeszköz csak számológép. Hat kérdés, tíz pont. Aki végzett, nézze át, hogy a mértékegységek rendben vannak-e.”
75:45–76:00
Elindítod az órát. 🗣 Mondom„Kezdhetitek.”
76:00–80:00
Körbejársz, nem segítesz. Ha valaki megkérdezi, hogy mit értsen valamin, csak a kérdés szövegét olvasod fel újra. Az 5. kérdésnél elakadóknak szabad egyetlen tippet adnod: „Gondolj az együtthatóra, amelyik 1-nél nagyobb lesz.” Fejben jegyzed, hol akadnak el a legtöbben.
Kérdezem: most senkit.
🎨
Hasonlat: a teszt végén, a 17. blokkban a megoldásokat hasonlattal mondod el.
⚠️
Gyakori hiba: a hallgatók a 2. kérdésnél a ζ-t és a T₆₀-at keverik, vagy a mértékegység-átváltást kihagyják. Nem szólsz bele, a lapcsere után a kulcs megmutatja.
⏱️
Ha csúszol: a teszt idejét ne rövidítsd. Ha az óra elcsúszott, a 14–15. blokkból vágj, ne a tesztből.
17
Teszt
Mini-teszt második fele, lapcsere, kulcs
80–85 perc
🎯 Cél a hallgatók befejezik a tesztet, kicserélik a lapot, és a kulcs alapján mindenki megtudja a pontszámát.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a kivetítőn a hat helyes válasz (a kulcs) csak a lapcsere után, addig a teszt kérdései.
📝Táblára írom
az értékelési skálát: 9–10 pont kiváló · 7–8 jó · 5–6 megfelelő · 4 vagy kevesebb: ismétlés a 2. gyakorlat előtt.
⏱️Percről percre
80:00–82:45
A hallgatók írnak, te figyelsz. 82:30-nál szólsz: „Negyed perc, fejezzétek be.”
82:45–83:00
🗣 Mondom„Tollat le. Cseréljetek lapot a szomszéddal, és javítsatok pirossal vagy másik színnel.”
83:00–85:00
Felolvasod a hat választ és a pontozást (lent). Mindenki a szomszéd lapját javítja, majd visszaadja, és saját pontszámát felírja a lap tetejére. Nem vitatkozunk, nem magyarázunk hosszan: a megoldásokat mondod el.
A kulcs és ahogy elmondod
#
Helyes válasz
Pont
Hogyan mondod el
1
f₀ = 439 Hz (438,8)
1
„Az A hang környéke, 439.”
2
ζ = 0,098 (1 pont), T₆₀ = 9,1 ms (1 pont)
2
„Kis ζ, nagyon rövid kopp: a (b) eset a pergő.”
3
c_krit = 55,1 N·s/m
1
„Ez a méz: ennél több fék már nem enged lengést.”
4
f₂/f₁ = 2,618 (= 1,618 / 0,618); 2 pont. 1 pont, ha 1,618-at mond, de indokol
2
„Nem az aranymetszés, hanem a négyzete: egy oktáv és egy szűk kvart.”
5
A két mintás alakban |a₂| = 1 − 2σT + ω₀²T² kis csillapításnál 1 fölé megy, így a pólus sugara 1-nél nagyobb. 2 pont; 1 pont, ha csak annyit mond, hogy „minden lépés túllő”
2
„Mint a visszacsatolás: az erősítés egynél nagyobb, ezért üvölt.”
6
A cos adja a hullám sebességét: kis θ-nál a₁ ≈ 2, nagyobbnál kisebb, ez a hangmagasság. 2 pont; 1 pont, ha csak „a frekvencia” szerepel indoklás nélkül
2
„Az óriáskerék forgási sebessége: a cos a hangmagasság-gomb.”
84:30–85:00. Mondom: „Aki 4 pont alatt van, nézze meg újra a 2. gyakorlat előtt a Megoldások fület. Köszönöm a csendet és a figyelmet.”
Kérdezem: most senkit. Ha valaki vitatja a pontozást, mondom: „A szünetben megbeszéljük.”
🎨
Hasonlat: a kulcs minden sorában egy hasonlat van: méz, pergő, óriáskerék, visszacsatolás.
⚠️
Gyakori hiba: a 4. kérdésnél az 1,618-at mondják f₂/f₁-nek. Az 5.-nél az „elszáll” szót írják magyarázat nélkül (1 pont). A 2.-nál a mértékegység-átváltás hiánya miatt rossz a ζ.
⏱️
Ha csúszol: a kulcsot olvasd fel gyorsabban, kérdésenként 15 másodperc. A lapcserét kihagyhatod, ha a hallgatók a saját lapjukat javítják.
18
Lezárás
Lezárás, házi feladat, átvezetés
85–90 perc
🎯 Cél a hallgatók három mondatban viszik haza az egész órát, tudják a házi feladatot, és tudják, mi jön legközelebb.
🖥️Mutatom (kivetítő)
a kivetítőn a három összefoglaló mondat és a házi feladat.
📝Táblára írom
a HALLGATÁS, SZÁMOLÁS és KÓD oszlop alá egy-egy mondatot, a végén a házit.
SZÁMOLÁS: egy rezgő = lecsengő szinusz (ω₀, σ, ζ). Összetett tárgy = módusok összege.
HALLGATÁS: az ütés helye a módusok keverési aránya.
KÓD: pontos együtthatók (cos, r, sin), nem Euler.
Házi: a Python oscillator és resonator összehasonlítása (3. feladat az 1. óra anyagából) · olvasás: 9–10. pont.
⏱️Percről percre
85:00–86:30
🗣 Mondom„Három mondatot vigyetek haza. Első: egy rezgő hangja lecsengő szinusz, mint a trambulinon pattogó gyerek, és ennek két mintás szabálya van. Második: egy összetett tárgy hangja módusonként ilyen rezgők összege, mint a festékkeverés: minden módus egy tubus, az ütés helye adja a keverést. Harmadik: az Euler közelít és elszállhat, mint a visszacsatolás. A pontos együtthatók, a cos, a sin és az r, nem.”
86:30–87:30
Felírod a házit, és mondom: „A házi: futtassátok le a Python oscillator és resonator függvényét az m = 0,01, k = 76e3, c = 0,049 értékekkel, és vessétek össze a két kimenetet. Kérdés: mekkora a relatív eltérésük, ha az egyiket egy mintával eltolod, és miért? Olvasásra a 9. és a 10. pont.”
87:30–89:00
🗣 Mondom„Mi volt ma a legnehezebb?” Két hallgató válaszol. Közben a Kérdés-falról felolvasol egy-két kérdést, és röviden válaszolsz, vagy jelzed, hogy a következő órán visszatértek rá.
89:00–90:00
🗣 Mondom„Köszönöm a munkát. A következő órán a láncot és a valódi hangszereket számoljuk és hallgatjuk. Találkozunk [dátum, idő].” Nem mondod, hogy „folytatjuk legközelebb”: a gyakorlat itt teljesen lezárult.
💬Kérdezem
❓ „Mi volt ma a legnehezebb?” Nincs jó vagy rossz válasz.
↳ Ha nem tudják„Akkor én mondom: sokaknak a két tömeges rész. Ha az volt, a Kérdés-falra felírhatod, hogy melyik lépés.”
Gyakori hiba: a hallgatók nem találják a két függvényt. Mondom: „Az oscillator és a resonator a Kódok fül közös alapjában van.”
⏱️
Ha csúszol: a „Mi volt a legnehezebb” kérdést (87:30–89:00) rövidítsd egy hallgatóra, és a Kérdés-falat vidd át a következő alkalomra.
Mellékletek
A. Csúszás esetén: mit hagyj el
Egy időpontot soha ne vágj le: a 20. percnél a két tömeg ábrájának, a 40. percnél a demónak, az 55. percnél a kódnak, a 75. percnél a tesztnek kell indulnia. Ami közte csúszik, azt innen vágd.
Blokk
Mit hagyj el, ha 2–3 percet csúszol
1 (0–5)
semmit, fix 5 perc; a közös átvételt kérdésenként 20 mp-re
2 (5–10)
a tömegduplázás kérdést
3 (10–15)
a kétszeres fék kérdést
4 (15–20)
a (b) esetet házinak adod, csak az eredményt írod fel
7 (30–35)
a módus-tömegeket és az arányt házinak adod, csak a 0,146-ot mondod ki
9 (40–45)
a hallgatói Ütést és a c = 55,1 hallgatás rövid része
11 (50–55)
a közös megbeszélés (54:15–55:00)
14 (65–70)
a harmadik kérdés (500 kN/m, 1 g)
15 (70–75)
a hanghallgatás és a gen~; az összekötés bővül 5 percre
B. Gyakori hibák egy helyen
Hiba
Mit mondj
gramm és kg, kN/m és N/m keverése
„Állj meg, nézd meg az első sort: kilogramm és newton per méter?”
f₀ és ω₀ keverése
„Az f hertz, az ω rad/s, a kettő között 2π van.”
T₆₀-nál 3 a 6,9 helyett
„A hatvan decibel ezerszeres, ln 1000, és a σ-val osztunk.”
f₂/f₁ = 1,618
„Osszuk el: 710 per 271, az 2,62.”
az a_n-nél nincs négyzet
„Az ütés és a hallgatás helye is számít: szorzat, ugyanott négyzet.”
a jelölőnégyzet „a hangot is kapcsolja”
„A pipa csak a rajzot érinti. A hangot a három fájl mutatja meg.”
a (c) esetben „nincs hang”
„Nincs csengés, de puffanás van.”
C. Hasonlat-szótár
Fogalom
Hasonlat
Hol használod
tömeg–rugó–fék
trambulin: gyerek, vászon, levegő
2–4. blokk
tömeg és merevség (f₀)
nagy dob mély, feszes bőr magas
2.
mértékegység-átváltás
hangolás: mindenki ugyanarra legyen hangolva
2.
σ, T₆₀
a trambulin utózengése, RT60
3.
kritikus csillapítás, ζ
méz a trambulinon; gong és vizes törölköző
3–4., 9.
módus
tánckar: közös ütem, más mozdulatnagyság
1., 5.
két tömeg
két vagon
5.
K mátrix
a kötelek térképe
5.
det(K − ω²M) = 0
hangolás: a húr csak a saját hangjain cseng
5.
λ
zenei intervallum: az arány számít, nem a hertz
6.
1. módus, 2. módus
hullámzó vonat, libikóka
7., 10.
ütés helye
gitár: ponticello és tasto, flageolett; dob szél és közép
7., 11.
a módusok összege
festékkeverés: minden módus egy tubus
10., 11., 18.
Euler
sötétben lépkedés: csak az orrod irányát nézed
12.
a pontos megoldás
térkép, nem lépegetés
12.
cos, r, sin
óriáskerék sebessége, lecsengés-gomb, első lökés
12., 15.
a pólus sugara
hangfal–mikrofon visszacsatolás
14.
A hasonlatok korlátai. A trambulin a tömeg–rugó–fék kép, de nem tökéletes: a felugrás nem tökéletesen lineáris. A festékkeverés a hangszínt szemlélteti, de a módusok nem „színek”, hanem frekvenciák. Ha egy hallgató ráerősít a hasonlat gyengéjére, ne védd: mondd ki, hogy a kép ott véget ér, és térj vissza a számhoz.